求解 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0.743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0.298935084$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}-4x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-4 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

将 72 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

取 88 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} 的解。 将 2\sqrt{22} 加上 4。

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

4+2\sqrt{22} 除以 18。

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} 的解。 将 4 减去 2\sqrt{22}。

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

4-2\sqrt{22} 除以 18。

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}-4x-2=0$$

在等式两边同时加 2。

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 减去它自己得 0。

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

将 0 减去 -2。

$$9x^{2}-4x=2$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{9} 除以 2 得 -\frac{2}{9}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{9} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{9} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

将 \frac{4}{81} 加上 \frac{2}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

因数 x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{9}。

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$