求解 9x^2-3x+1/4=0

$$9 x ^ { 2 } - 3 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}-3x+\frac{1}{4}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-3 替换 b，并用 \frac{1}{4} 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\times \frac{1}{4}}}{2\times 9}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 9\times \frac{1}{4}}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-36\times \frac{1}{4}}}{2\times 9}$$

求 -36 与 \frac{1}{4} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-9}}{2\times 9}$$

将 -9 加上 9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{-3}{2\times 9}$$

-3 的相反数是 3。

$$x=\frac{3}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{3}{18}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{18} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}-3x+\frac{1}{4}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$9x^{2}-3x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} 减去它自己得 0。

$$9x^{2}-3x=-\frac{1}{4}$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}-3x}{9}=-\frac{\frac{1}{4}}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{9}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-3}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{\frac{1}{4}}{9}$$

-\frac{1}{4} 除以 9。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{1}{36}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{36}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{-1+1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 -\frac{1}{36}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=0$$

因数 x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=0$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化简。

$$x-\frac{1}{6}=0 x-\frac{1}{6}=0$$

在等式两边同时加 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{1}{6} x=\frac{1}{6}$$

现已求得方程式的解。 解是相同的。

$$x=\frac{1}{6}$$