求解 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式两边同时减去 65。

$$9x^{2}-24x-65=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 9x^{2}+ax+bx-65。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -585 的所有此类整数对。

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

计算每对之和。

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

该解答是总和为 -24 的对。

$$a=-39 b=15$$

将 9x^{2}-24x-65 改写为 \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)。

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-13。

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-13=0 和 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}-24x=65$$

将等式的两边同时减去 65。

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

65 减去它自己得 0。

$$9x^{2}-24x-65=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-24 替换 b，并用 -65 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

对 -24 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -65 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

将 2340 加上 576。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

取 2916 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

-24 的相反数是 24。

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{24±54}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{24±54}{18} 的解。 将 54 加上 24。

$$x=\frac{78}{18}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{78}{18} 降低为最简分数。

$$x=\frac{13}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{24±54}{18} 的解。 将 24 减去 54。

$$x=-\frac{30}{18}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-30}{18} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}-24x=65$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-24}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{8}{3} 除以 2 得 -\frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 \frac{65}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

因数 x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

化简。

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

在等式两边同时加 \frac{4}{3}。

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$