求解 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}-14x-14=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-14 替换 b，并用 -14 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -14 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

将 504 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

取 700 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} 的解。 将 10\sqrt{7} 加上 14。

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

14+10\sqrt{7} 除以 18。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} 的解。 将 14 减去 10\sqrt{7}。

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

14-10\sqrt{7} 除以 18。

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}-14x-14=0$$

在等式两边同时加 14。

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 减去它自己得 0。

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

将 0 减去 -14。

$$9x^{2}-14x=14$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{14}{9} 除以 2 得 -\frac{7}{9}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{9} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{9} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

将 \frac{49}{81} 加上 \frac{14}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

对 x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{9}。

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$