求解 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.942809042i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+6x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，6 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

对 6 进行平方运算。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

求 -36 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

将 -324 加上 36。

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

取 -288 的平方根。

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} 的解。 将 12i\sqrt{2} 加上 -6。

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

-6+12i\sqrt{2} 除以 18。

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} 的解。 将 -6 减去 12i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

-6-12i\sqrt{2} 除以 18。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+6x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+6x=-9$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{6}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

-9 除以 9。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

将 x 项的系数 \frac{2}{3} 除以 2 得 \frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 -1。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$