求解 9x^2+3x-1=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6}\approx 0.20601133$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}\approx -0.539344663$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+3x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，3 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+36}}{2\times 9}$$

将 36 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{45}}{2\times 9}$$

取 45 的平方根。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18} 的解。 将 3\sqrt{5} 加上 -3。

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{18}$$

-3+3\sqrt{5} 除以 18。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{18} 的解。 将 -3 减去 3\sqrt{5}。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{18}$$

-3-3\sqrt{5} 除以 18。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+3x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$9x^{2}+3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+3x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$9x^{2}+3x=1$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=\frac{1}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=\frac{1}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{3} 除以 2 得 \frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{9}+\frac{1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 \frac{1}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{5}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{5}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{6}$$