求解 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0.166666667+0.986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0.166666667-0.986013297i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+3x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，3 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

求 -36 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

将 -324 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

取 -315 的平方根。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} 的解。 将 3i\sqrt{35} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

-3+3i\sqrt{35} 除以 18。

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} 的解。 将 -3 减去 3i\sqrt{35}。

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

-3-3i\sqrt{35} 除以 18。

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+3x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+3x=-9$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

-9 除以 9。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

将 x 项的系数 \frac{1}{3} 除以 2 得 \frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 -1。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$