求解 9x^2+19x-407=0

$$9 x ^ { 2 } + 19 x - 407 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{15013} - 19}{18} \approx 5.75153044$$

$$x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}\approx -7.862641551$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+19x-407=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，19 替换 b，并用 -407 替换 c。

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 9\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

对 19 进行平方运算。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 9\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-36\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -407 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+14652}}{2\times 9}$$

将 14652 加上 361。

$$x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18} 的解。 将 \sqrt{15013} 加上 -19。

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18} 的解。 将 -19 减去 \sqrt{15013}。

$$x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18} x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+19x-407=0$$

在等式两边同时加 407。

$$9x^{2}+19x-407-\left(-407\right)=-\left(-407\right)$$

-407 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+19x=-\left(-407\right)$$

将 0 减去 -407。

$$9x^{2}+19x=407$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+19x}{9}=\frac{407}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{19}{9}x=\frac{407}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{19}{9} 除以 2 得 \frac{19}{18}。然后在等式两边同时加上 \frac{19}{18} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\left(\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{407}{9}+\left(\frac{19}{18}\right)^{2}$$

对 \frac{19}{18} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{407}{9}+\frac{361}{324}$$

将 \frac{361}{324} 加上 \frac{407}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{15013}{324}$$

因数 x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{15013}{324}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15013}{324}}$$

化简。

$$x+\frac{19}{18}=\frac{\sqrt{15013}}{18} x+\frac{19}{18}=-\frac{\sqrt{15013}}{18}$$

将等式的两边同时减去 \frac{19}{18}。

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18} x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$