求解 9x^2+14x+21=0

$$9 x ^ { 2 } + 14 x + 21 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9}\approx -0.777777778+1.314684396i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}\approx -0.777777778-1.314684396i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+14x+21=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，14 替换 b，并用 21 替换 c。

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

对 14 进行平方运算。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\times 21}}{2\times 9}$$

求 -36 与 21 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-756}}{2\times 9}$$

将 -756 加上 196。

$$x=\frac{-14±\sqrt{-560}}{2\times 9}$$

取 -560 的平方根。

$$x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18} 的解。 将 4i\sqrt{35} 加上 -14。

$$x=\frac{-14+4\sqrt{35}i}{18}$$

-14+4i\sqrt{35} 除以 18。

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18} 的解。 将 -14 减去 4i\sqrt{35}。

$$x=\frac{-4\sqrt{35}i-14}{18}$$

-14-4i\sqrt{35} 除以 18。

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+14x+21=0$$

将等式的两边同时减去 21。

$$9x^{2}+14x+21-21=-21$$

21 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+14x=-21$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=-\frac{21}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=-\frac{21}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-21}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=-\frac{7}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{14}{9} 除以 2 得 \frac{7}{9}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{9} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{9} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{7}{3}+\frac{49}{81}$$

将 \frac{49}{81} 加上 -\frac{7}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{140}{81}$$

因数 x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{140}{81}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{140}{81}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{9}=\frac{2\sqrt{35}i}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{2\sqrt{35}i}{9}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{9}。

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$