求解 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

求解 n 的值

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式两边同时减去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合并 9n^{2} 和 -3n^{2}，得到 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6n^{2}+an+bn+20。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 120 的所有此类整数对。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

计算每对之和。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

该解答是总和为 -23 的对。

$$a=-15 b=-8$$

将 6n^{2}-23n+20 改写为 \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)。

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

将 3n 放在第二个组中的第一个和 -4 中。

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2n-5。

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 2n-5=0 和 3n-4=0。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合并 9n^{2} 和 -3n^{2}，得到 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-23 替换 b，并用 20 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

对 -23 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

求 -24 与 20 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

将 -480 加上 529。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

取 49 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 的相反数是 23。

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$n=\frac{23±7}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{23±7}{12} 的解。 将 7 加上 23。

$$n=\frac{30}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{30}{12} 降低为最简分数。

$$n=\frac{5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{23±7}{12} 的解。 将 23 减去 7。

$$n=\frac{16}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{16}{12} 降低为最简分数。

$$n=\frac{4}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 3n^{2}。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

合并 9n^{2} 和 -3n^{2}，得到 6n^{2}。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

将方程式两边同时减去 20。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$6n^{2}-23n=-20$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-20}{6} 降低为最简分数。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{23}{6} 除以 2 得 -\frac{23}{12}。然后在等式两边同时加上 -\frac{23}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

对 -\frac{23}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

将 \frac{529}{144} 加上 -\frac{10}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

对 n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化简。

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{23}{12}。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$