求解 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

求解 a 的值

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0.555555556+0.368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0.555555556-0.368513866i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9a^{2}-10a+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-10 替换 b，并用 4 替换 c。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

对 -10 进行平方运算。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

求 -36 与 4 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

将 -144 加上 100。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

取 -44 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

-10 的相反数是 10。

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} 的解。 将 2i\sqrt{11} 加上 10。

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

10+2i\sqrt{11} 除以 18。

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} 的解。 将 10 减去 2i\sqrt{11}。

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

10-2i\sqrt{11} 除以 18。

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9a^{2}-10a+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$9a^{2}-10a=-4$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{10}{9} 除以 2 得 -\frac{5}{9}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{9} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{9} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

将 \frac{25}{81} 加上 -\frac{4}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

因数 a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

化简。

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{9}。

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$