求解 9x^2+150x-119=0

$$9 { x }^{ 2 } +150x-119=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}\approx 0.758787798$$

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}\approx -17.425454465$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}+150x-119=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，150 替换 b，并用 -119 替换 c。

$$x=\frac{-150±\sqrt{150^{2}-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

对 150 进行平方运算。

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-36\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

求 -36 与 -119 的乘积。

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500+4284}}{2\times 9}$$

将 4284 加上 22500。

$$x=\frac{-150±\sqrt{26784}}{2\times 9}$$

取 26784 的平方根。

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18} 的解。 将 12\sqrt{186} 加上 -150。

$$x=\frac{12\sqrt{186}-150}{18}$$

-150+12\sqrt{186} 除以 18。

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18} 的解。 将 -150 减去 12\sqrt{186}。

$$x=\frac{-12\sqrt{186}-150}{18}$$

-150-12\sqrt{186} 除以 18。

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}+150x-119=0$$

在等式两边同时加 119。

$$9x^{2}+150x-119-\left(-119\right)=-\left(-119\right)$$

-119 减去它自己得 0。

$$9x^{2}+150x=-\left(-119\right)$$

将 0 减去 -119。

$$9x^{2}+150x=119$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}+150x}{9}=\frac{119}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{150}{9}x=\frac{119}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{150}{9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{50}{3}x=\frac{119}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{50}{3} 除以 2 得 \frac{25}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{25}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{119}{9}+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{25}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{119+625}{9}$$

将 \frac{625}{9} 加上 \frac{119}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{248}{3}$$

因数 x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{248}{3}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{248}{3}}$$

化简。

$$x+\frac{25}{3}=\frac{2\sqrt{186}}{3} x+\frac{25}{3}=-\frac{2\sqrt{186}}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{25}{3}。

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$