求解 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0.033707865+0.669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0.033707865-0.669553569i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$89x^{2}-6x+40=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 89 替换 a，-6 替换 b，并用 40 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

对 -6 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

求 -4 与 89 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

求 -356 与 40 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

将 -14240 加上 36。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

取 -14204 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

-6 的相反数是 6。

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

求 2 与 89 的乘积。

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} 的解。 将 2i\sqrt{3551} 加上 6。

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

6+2i\sqrt{3551} 除以 178。

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} 的解。 将 6 减去 2i\sqrt{3551}。

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

6-2i\sqrt{3551} 除以 178。

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$89x^{2}-6x+40=0$$

将等式的两边同时减去 40。

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

40 减去它自己得 0。

$$89x^{2}-6x=-40$$

两边同时除以 89。

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

除以 89 是乘以 89 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

将 x 项的系数 -\frac{6}{89} 除以 2 得 -\frac{3}{89}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{89} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{89} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

将 \frac{9}{7921} 加上 -\frac{40}{89}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

因数 x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{89}。

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$