求解 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 84 替换 a，4\sqrt{3} 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

对 4\sqrt{3} 进行平方运算。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

求 -4 与 84 的乘积。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

求 -336 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

将 -1008 加上 48。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

取 -960 的平方根。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

求 2 与 84 的乘积。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} 的解。 将 8i\sqrt{15} 加上 -4\sqrt{3}。

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

-4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} 除以 168。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} 的解。 将 -4\sqrt{3} 减去 8i\sqrt{15}。

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

-4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} 除以 168。

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

将等式的两边同时减去 3。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

3 减去它自己得 0。

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

两边同时除以 84。

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

除以 84 是乘以 84 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

4\sqrt{3} 除以 84。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-3}{84} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

将 x 项的系数 \frac{\sqrt{3}}{21} 除以 2 得 \frac{\sqrt{3}}{42}。然后在等式两边同时加上 \frac{\sqrt{3}}{42} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

对 \frac{\sqrt{3}}{42} 进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

将 \frac{1}{588} 加上 -\frac{1}{28}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

因数 x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

化简。

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

将等式的两边同时减去 \frac{\sqrt{3}}{42}。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$