求解 8x^2-x-180=0

$$8 x ^ { 2 } - x - 180 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{5761} + 1}{16} \approx 4.806328227$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}\approx -4.681328227$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}-x-180=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，-1 替换 b，并用 -180 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 8\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

求 -32 与 -180 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5760}}{2\times 8}$$

将 5760 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} 的解。 将 \sqrt{5761} 加上 1。

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} 的解。 将 1 减去 \sqrt{5761}。

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}-x-180=0$$

在等式两边同时加 180。

$$8x^{2}-x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180 减去它自己得 0。

$$8x^{2}-x=-\left(-180\right)$$

将 0 减去 -180。

$$8x^{2}-x=180$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}-x}{8}=\frac{180}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{180}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{180}{8} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{45}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{8} 除以 2 得 -\frac{1}{16}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{45}{2}+\frac{1}{256}$$

将 \frac{1}{256} 加上 \frac{45}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{5761}{256}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{5761}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5761}{256}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{5761}}{16} x-\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{5761}}{16}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{16}。

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$