求解 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1.112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0.112372436$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}-8x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，-8 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

对 -8 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

求 -32 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

将 32 加上 64。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

取 96 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

-8 的相反数是 8。

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} 的解。 将 4\sqrt{6} 加上 8。

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

8+4\sqrt{6} 除以 16。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} 的解。 将 8 减去 4\sqrt{6}。

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

8-4\sqrt{6} 除以 16。

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}-8x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$8x^{2}-8x=1$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

-8 除以 8。

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{1}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$