求解 8x^2+x-3=0

$$8 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}\approx 0.553053613$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}\approx -0.678053613$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}+x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，1 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

求 -32 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+96}}{2\times 8}$$

将 96 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16} 的解。 将 \sqrt{97} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{97}。

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}+x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$8x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$8x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$8x^{2}+x=3$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{3}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{3}{8}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{8} 除以 2 得 \frac{1}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{3}{8}+\frac{1}{256}$$

将 \frac{1}{256} 加上 \frac{3}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{97}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{16}。

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$