求解 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0.8125+0.768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0.8125-0.768012858i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}+13x+10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，13 替换 b，并用 10 替换 c。

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

对 13 进行平方运算。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

求 -32 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

将 -320 加上 169。

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

取 -151 的平方根。

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} 的解。 将 i\sqrt{151} 加上 -13。

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} 的解。 将 -13 减去 i\sqrt{151}。

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}+13x+10=0$$

将等式的两边同时减去 10。

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

10 减去它自己得 0。

$$8x^{2}+13x=-10$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{8} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{13}{8} 除以 2 得 \frac{13}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

将 \frac{169}{256} 加上 -\frac{5}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{16}。

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$