求解 8n^2-4(1-2n)(2+8n)=0

$$8 n ^ { 2 } - 4 ( 1 - 2 n ) ( 2 + 8 n ) = 0$$

求解 n 的值

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}\approx 0.462475296$$

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}\approx -0.240253073$$

运用二次公式的步骤

将 -1 与 4 相乘，得到 -4。

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

使用分配律将 -4 乘以 1-2n。

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

使用分配律将 -4+8n 乘以 2+8n，并组合同类项。

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

合并 8n^{2} 和 64n^{2}，得到 72n^{2}。

$$72n^{2}-8-16n=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$72n^{2}-16n-8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 72 替换 a，-16 替换 b，并用 -8 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

对 -16 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

求 -4 与 72 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-288\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

求 -288 与 -8 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+2304}}{2\times 72}$$

将 2304 加上 256。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{2560}}{2\times 72}$$

取 2560 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-16\right)±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

-16 的相反数是 16。

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

求 2 与 72 的乘积。

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144} 的解。 将 16\sqrt{10} 加上 16。

$$n=\frac{16\sqrt{10}+16}{144}$$

16+16\sqrt{10} 除以 144。

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144} 的解。 将 16 减去 16\sqrt{10}。

$$n=\frac{16-16\sqrt{10}}{144}$$

16-16\sqrt{10} 除以 144。

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

使用配方法的步骤

将 -1 与 4 相乘，得到 -4。

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

使用分配律将 -4 乘以 1-2n。

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

使用分配律将 -4+8n 乘以 2+8n，并组合同类项。

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

合并 8n^{2} 和 64n^{2}，得到 72n^{2}。

$$72n^{2}-8-16n=0$$

将 8 添加到两侧。 任何数与零相加其值不变。

$$72n^{2}-16n=8$$

两边同时除以 72。

$$\frac{72n^{2}-16n}{72}=\frac{8}{72}$$

除以 72 是乘以 72 的逆运算。

$$n^{2}+\left(-\frac{16}{72}\right)n=\frac{8}{72}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{-16}{72} 降低为最简分数。

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{8}{72}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{8}{72} 降低为最简分数。

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{1}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{9} 除以 2 得 -\frac{1}{9}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{9} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{9} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

将 \frac{1}{81} 加上 \frac{1}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$$

因数 n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{10}{81}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{81}}$$

化简。

$$n-\frac{1}{9}=\frac{\sqrt{10}}{9} n-\frac{1}{9}=-\frac{\sqrt{10}}{9}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{9}。

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$