求解 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3.791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0.791287847$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}-24x-24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，-24 替换 b，并用 -24 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

对 -24 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

求 -32 与 -24 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

将 768 加上 576。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

取 1344 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

-24 的相反数是 24。

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} 的解。 将 8\sqrt{21} 加上 24。

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

24+8\sqrt{21} 除以 16。

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} 的解。 将 24 减去 8\sqrt{21}。

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

24-8\sqrt{21} 除以 16。

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}-24x-24=0$$

在等式两边同时加 24。

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 减去它自己得 0。

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

将 0 减去 -24。

$$8x^{2}-24x=24$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

-24 除以 8。

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

24 除以 8。

$$x^{2}-3x=3$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 3。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

因数 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$