求解 7x+2x^2=84

$$7x+2 { x }^{ 2 } =84$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{721} - 7}{4} \approx 4.962860791$$

$$x=\frac{-\sqrt{721}-7}{4}\approx -8.462860791$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+7x=84$$

将等式的两边同时减去 84。

$$2x^{2}+7x-84=84-84$$

84 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+7x-84=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，7 替换 b，并用 -84 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-84\right)}}{2\times 2}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-84\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-84\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -84 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+672}}{2\times 2}$$

将 672 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{721}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{721}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{721}}{4} 的解。 将 \sqrt{721} 加上 -7。

$$x=\frac{\sqrt{721}-7}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{721}}{4} 的解。 将 -7 减去 \sqrt{721}。

$$x=\frac{-\sqrt{721}-7}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{721}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{721}-7}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+7x=84$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{84}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{84}{2}$$

84 除以 2。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=42$$

将 x 项的系数 \frac{7}{2} 除以 2 得 \frac{7}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=42+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=42+\frac{49}{16}$$

将 \frac{49}{16} 加上 42。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{721}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{721}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{721}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{721}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{721}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{721}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{721}-7}{4}$$