求解 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 7x^{2}+ax+bx-15。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -105 的所有此类整数对。

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

计算每对之和。

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

该解答是总和为 -32 的对。

$$a=-35 b=3$$

将 7x^{2}-32x-15 改写为 \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)。

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

将 7x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 x-5=0 和 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7x^{2}-32x-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，-32 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

对 -32 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

求 -28 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

将 420 加上 1024。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

取 1444 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

-32 的相反数是 32。

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{32±38}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{32±38}{14} 的解。 将 38 加上 32。

$$x=\frac{70}{14}$$

70 除以 14。

$$x=5$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{32±38}{14} 的解。 将 32 减去 38。

$$x=-\frac{6}{14}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-6}{14} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{3}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7x^{2}-32x-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$7x^{2}-32x=15$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

将 x 项的系数 -\frac{32}{7} 除以 2 得 -\frac{16}{7}。然后在等式两边同时加上 -\frac{16}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

对 -\frac{16}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

将 \frac{256}{49} 加上 \frac{15}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

因数 x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

化简。

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

在等式两边同时加 \frac{16}{7}。

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$