求解 7x^2-2x-3=0

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0.812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0.527202251$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7x^{2}-2x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，-2 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

求 -28 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

将 84 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

取 88 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} 的解。 将 2\sqrt{22} 加上 2。

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

2+2\sqrt{22} 除以 14。

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{22}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

2-2\sqrt{22} 除以 14。

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7x^{2}-2x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$7x^{2}-2x=3$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{7} 除以 2 得 -\frac{1}{7}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

将 \frac{1}{49} 加上 \frac{3}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{7}。

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$