求解 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7x^{2}+4x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，4 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

将 -28 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

取 -12 的平方根。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} 的解。 将 2i\sqrt{3} 加上 -4。

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

-4+2i\sqrt{3} 除以 14。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} 的解。 将 -4 减去 2i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

-4-2i\sqrt{3} 除以 14。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7x^{2}+4x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$7x^{2}+4x=-1$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{7} 除以 2 得 \frac{2}{7}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

将 \frac{4}{49} 加上 -\frac{1}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

对 x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{7}。

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$