求解 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

求解 k 的值

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1.061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3.633096675$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7k^{2}+18k-27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，18 替换 b，并用 -27 替换 c。

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

对 18 进行平方运算。

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

求 -28 与 -27 的乘积。

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

将 756 加上 324。

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

取 1080 的平方根。

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} 的解。 将 6\sqrt{30} 加上 -18。

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

-18+6\sqrt{30} 除以 14。

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} 的解。 将 -18 减去 6\sqrt{30}。

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

-18-6\sqrt{30} 除以 14。

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7k^{2}+18k-27=0$$

在等式两边同时加 27。

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 减去它自己得 0。

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

将 0 减去 -27。

$$7k^{2}+18k=27$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

将 x 项的系数 \frac{18}{7} 除以 2 得 \frac{9}{7}。然后在等式两边同时加上 \frac{9}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

对 \frac{9}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

将 \frac{81}{49} 加上 \frac{27}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

因数 k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

化简。

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

将等式的两边同时减去 \frac{9}{7}。

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$