求解 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7x^{2}-3x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，-3 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

求 -28 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

将 140 加上 9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

-3 的相反数是 3。

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} 的解。 将 \sqrt{149} 加上 3。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} 的解。 将 3 减去 \sqrt{149}。

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7x^{2}-3x-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$7x^{2}-3x=5$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{7} 除以 2 得 -\frac{3}{14}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{14} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{14} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

将 \frac{9}{196} 加上 \frac{5}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

对 x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{14}。

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$