求解 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 64 替换 a，24\sqrt{5} 替换 b，并用 33 替换 c。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

对 24\sqrt{5} 进行平方运算。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

求 -4 与 64 的乘积。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

求 -256 与 33 的乘积。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

将 -8448 加上 2880。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

取 -5568 的平方根。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

求 2 与 64 的乘积。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} 的解。 将 8i\sqrt{87} 加上 -24\sqrt{5}。

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

-24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} 除以 128。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} 的解。 将 -24\sqrt{5} 减去 8i\sqrt{87}。

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

-24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} 除以 128。

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

将等式的两边同时减去 33。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

33 减去它自己得 0。

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

两边同时除以 64。

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

除以 64 是乘以 64 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

24\sqrt{5} 除以 64。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

将 x 项的系数 \frac{3\sqrt{5}}{8} 除以 2 得 \frac{3\sqrt{5}}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{3\sqrt{5}}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{3\sqrt{5}}{16} 进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

将 \frac{45}{256} 加上 -\frac{33}{64}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3\sqrt{5}}{16}。

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$