求解 6x^2-25x+24=0

$$6 x ^ { 2 } - 25 x + 24 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx+24。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-25 ab=6\times 24=144$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 144 的所有此类整数对。

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

计算每对之和。

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

该解答是总和为 -25 的对。

$$a=-16 b=-9$$

将 6x^{2}-25x+24 改写为 \left(6x^{2}-16x\right)+\left(-9x+24\right)。

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(-9x+24\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 -3 中。

$$2x\left(3x-8\right)-3\left(3x-8\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-8。

$$\left(3x-8\right)\left(2x-3\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-8=0 和 2x-3=0.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-25x+24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-25 替换 b，并用 24 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 6\times 24}}{2\times 6}$$

对 -25 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 6\times 24}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-24\times 24}}{2\times 6}$$

求 -24 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2\times 6}$$

将 -576 加上 625。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2\times 6}$$

-25 的相反数是 25。

$$x=\frac{25±7}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{25±7}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{25±7}{12} 的解。 将 7 加上 25。

$$x=\frac{32}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{32}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{8}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{25±7}{12} 的解。 将 25 减去 7。

$$x=\frac{18}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{18}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}-25x+24=0$$

将等式的两边同时减去 24。

$$6x^{2}-25x+24-24=-24$$

24 减去它自己得 0。

$$6x^{2}-25x=-24$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-25x}{6}=-\frac{24}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{25}{6}x=-\frac{24}{6}$$

-24 除以 6。

$$x^{2}-\frac{25}{6}x=-4$$

将 x 项的系数 -\frac{25}{6} 除以 2 得 -\frac{25}{12}。然后在等式两边同时加上 -\frac{25}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{25}{6}x+\left(-\frac{25}{12}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{25}{12}\right)^{2}$$

对 -\frac{25}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{25}{6}x+\frac{625}{144}=-4+\frac{625}{144}$$

将 \frac{625}{144} 加上 -4。

$$x^{2}-\frac{25}{6}x+\frac{625}{144}=\frac{49}{144}$$

因数 x^{2}-\frac{25}{6}x+\frac{625}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{25}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化简。

$$x-\frac{25}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{25}{12}=-\frac{7}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{25}{12}。

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{3}{2}$$