求解 6x^2+12x+14=7x^2-5

$$6 x ^ { 2 } + 12 x + 14 = 7 x ^ { 2 } - 5$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{55}+6\approx 13.416198487$$

$$x=6-\sqrt{55}\approx -1.416198487$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 7x^{2}。

$$6x^{2}+12x+14-7x^{2}=-5$$

合并 6x^{2} 和 -7x^{2}，得到 -x^{2}。

$$-x^{2}+12x+14=-5$$

将 5 添加到两侧。

$$-x^{2}+12x+14+5=0$$

14 与 5 相加，得到 19。

$$-x^{2}+12x+19=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，12 替换 b，并用 19 替换 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-1\right)\times 19}}{2\left(-1\right)}$$

对 12 进行平方运算。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-1\right)\times 19}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+4\times 19}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 19 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+76}}{2\left(-1\right)}$$

将 76 加上 144。

$$x=\frac{-12±\sqrt{220}}{2\left(-1\right)}$$

取 220 的平方根。

$$x=\frac{-12±2\sqrt{55}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-12±2\sqrt{55}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-12±2\sqrt{55}}{-2} 的解。 将 2\sqrt{55} 加上 -12。

$$x=\frac{2\sqrt{55}-12}{-2}$$

-12+2\sqrt{55} 除以 -2。

$$x=6-\sqrt{55}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-12±2\sqrt{55}}{-2} 的解。 将 -12 减去 2\sqrt{55}。

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-12}{-2}$$

-12-2\sqrt{55} 除以 -2。

$$x=\sqrt{55}+6$$

现已求得方程式的解。

$$x=6-\sqrt{55} x=\sqrt{55}+6$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 7x^{2}。

$$6x^{2}+12x+14-7x^{2}=-5$$

合并 6x^{2} 和 -7x^{2}，得到 -x^{2}。

$$-x^{2}+12x+14=-5$$

将方程式两边同时减去 14。

$$-x^{2}+12x=-5-14$$

将 -5 减去 14，得到 -19。

$$-x^{2}+12x=-19$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+12x}{-1}=-\frac{19}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{12}{-1}x=-\frac{19}{-1}$$

12 除以 -1。

$$x^{2}-12x=-\frac{19}{-1}$$

-19 除以 -1。

$$x^{2}-12x=19$$

将 x 项的系数 -12 除以 2 得 -6。然后在等式两边同时加上 -6 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=19+\left(-6\right)^{2}$$

对 -6 进行平方运算。

$$x^{2}-12x+36=19+36$$

将 36 加上 19。

$$x^{2}-12x+36=55$$

对 x^{2}-12x+36 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-6\right)^{2}=55$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{55}$$

化简。

$$x-6=\sqrt{55} x-6=-\sqrt{55}$$

在等式两边同时加 6。

$$x=\sqrt{55}+6 x=6-\sqrt{55}$$