求解 6x^2+5/3x-21=0

$$6 x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } x - 21 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{4561} - 5}{36} \approx 1.737088223$$

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}\approx -2.014866001$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，\frac{5}{3} 替换 b，并用 -21 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

对 \frac{5}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}-4\times 6\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}-24\left(-21\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -21 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{25}{9}+504}}{2\times 6}$$

将 504 加上 \frac{25}{9}。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\sqrt{\frac{4561}{9}}}{2\times 6}$$

取 \frac{4561}{9} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12} 的解。 将 \frac{\sqrt{4561}}{3} 加上 -\frac{5}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{3\times 12}$$

\frac{-5+\sqrt{4561}}{3} 除以 12。

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{5}{3}±\frac{\sqrt{4561}}{3}}{12} 的解。 将 -\frac{5}{3} 减去 \frac{\sqrt{4561}}{3}。

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{3\times 12}$$

\frac{-5-\sqrt{4561}}{3} 除以 12。

$$x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36} x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21=0$$

在等式两边同时加 21。

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x=-\left(-21\right)$$

将 0 减去 -21。

$$6x^{2}+\frac{5}{3}x=21$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+\frac{5}{3}x}{6}=\frac{21}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{\frac{5}{3}}{6}x=\frac{21}{6}$$

\frac{5}{3} 除以 6。

$$x^{2}+\frac{5}{18}x=\frac{21}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{21}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{18}x=\frac{7}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{18} 除以 2 得 \frac{5}{36}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{36} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\left(\frac{5}{36}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{36}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{36} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296}=\frac{7}{2}+\frac{25}{1296}$$

将 \frac{25}{1296} 加上 \frac{7}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296}=\frac{4561}{1296}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{25}{1296}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{36}\right)^{2}=\frac{4561}{1296}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{36}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4561}{1296}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{36}=\frac{\sqrt{4561}}{36} x+\frac{5}{36}=-\frac{\sqrt{4561}}{36}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{36}。

$$x=\frac{\sqrt{4561}-5}{36} x=\frac{-\sqrt{4561}-5}{36}$$