求解 6p^2+9p+2=0

$$6 p ^ { 2 } + 9 p + 2 = 0$$

求解 p 的值

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}\approx -0.271286446$$

$$p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}\approx -1.228713554$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6p^{2}+9p+2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，9 替换 b，并用 2 替换 c。

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

对 9 进行平方运算。

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-24\times 2}}{2\times 6}$$

求 -24 与 2 的乘积。

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 6}$$

将 -48 加上 81。

$$p=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12} 的解。 将 \sqrt{33} 加上 -9。

$$p=\frac{\sqrt{33}-9}{12}$$

-9+\sqrt{33} 除以 12。

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12} 的解。 将 -9 减去 \sqrt{33}。

$$p=\frac{-\sqrt{33}-9}{12}$$

-9-\sqrt{33} 除以 12。

$$p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4} p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6p^{2}+9p+2=0$$

将等式的两边同时减去 2。

$$6p^{2}+9p+2-2=-2$$

2 减去它自己得 0。

$$6p^{2}+9p=-2$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6p^{2}+9p}{6}=-\frac{2}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$p^{2}+\frac{9}{6}p=-\frac{2}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{9}{6} 降低为最简分数。

$$p^{2}+\frac{3}{2}p=-\frac{2}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{6} 降低为最简分数。

$$p^{2}+\frac{3}{2}p=-\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{2} 除以 2 得 \frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=-\frac{1}{3}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 -\frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{11}{48}$$

因数 p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(p+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{48}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(p+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{48}}$$

化简。

$$p+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{33}}{12} p+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{12}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{4}。

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4} p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$