求解 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx-1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -6 的所有此类整数对。

$$1,-6 2,-3$$

计算每对之和。

$$1-6=-5 2-3=-1$$

该解答是总和为 -5 的对。

$$a=-6 b=1$$

将 6x^{2}-5x-1 改写为 \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)。

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

从 6x^{2}-6x 分解出因子 6x。

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-1=0 和 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-5x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-5 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

将 24 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{5±7}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±7}{12} 的解。 将 7 加上 5。

$$x=\frac{12}{12}$$

12 除以 12。

$$x=1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±7}{12} 的解。 将 5 减去 7。

$$x=-\frac{2}{12}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}-5x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$6x^{2}-5x=1$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{6} 除以 2 得 -\frac{5}{12}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

将 \frac{25}{144} 加上 \frac{1}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{12}。

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$