求解 6x^2-4x-3=0

$$6 { x }^{ 2 } -4x-3=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}\approx 1.115069293$$

$$x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}\approx -0.448402627$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-4x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-4 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 6}$$

将 72 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 6}$$

取 88 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 6}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12} 的解。 将 2\sqrt{22} 加上 4。

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{12}$$

4+2\sqrt{22} 除以 12。

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{22}}{12} 的解。 将 4 减去 2\sqrt{22}。

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{12}$$

4-2\sqrt{22} 除以 12。

$$x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}-4x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$6x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$6x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$6x^{2}-4x=3$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{3}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{3}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-4}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{3}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 \frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{11}{18}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{18}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{22}}{6} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{22}}{6}+\frac{1}{3}$$