求解 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx-5。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -30 的所有此类整数对。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

计算每对之和。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

该解答是总和为 7 的对。

$$a=-3 b=10$$

将 6x^{2}+7x-5 改写为 \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)。

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-1。

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

若要找到方程解，请解 2x-1=0 和 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+7x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，7 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

将 120 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±13}{12} 的解。 将 13 加上 -7。

$$x=\frac{6}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{6}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±13}{12} 的解。 将 -7 减去 13。

$$x=-\frac{20}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-20}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+7x-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$6x^{2}+7x=5$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

将 x 项的系数 \frac{7}{6} 除以 2 得 \frac{7}{12}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

将 \frac{49}{144} 加上 \frac{5}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{12}。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$