求解 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx+3。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数，a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 18 的所有此类整数对。

$$1,18 2,9 3,6$$

计算每对之和。

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

该解答是总和为 11 的对。

$$a=2 b=9$$

将 6x^{2}+11x+3 改写为 \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)。

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x+1。

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 3x+1=0 和 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+11x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，11 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

对 11 进行平方运算。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

求 -24 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

将 -72 加上 121。

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-11±7}{12} 的解。 将 7 加上 -11。

$$x=-\frac{4}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-11±7}{12} 的解。 将 -11 减去 7。

$$x=-\frac{18}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-18}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+11x+3=0$$

将等式的两边同时减去 3。

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

3 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+11x=-3$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-3}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{11}{6} 除以 2 得 \frac{11}{12}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

将 \frac{121}{144} 加上 -\frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

因数 x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{12}。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$