求解 5975x^2+450125x-706653125=0

$$5975 x ^ { 2 } + 450125 x - 706653125 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{1093863821} - 18005}{478} \approx 308.290922127$$

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}\approx -383.62565016$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5975 替换 a，450125 替换 b，并用 -706653125 替换 c。

$$x=\frac{-450125±\sqrt{450125^{2}-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

对 450125 进行平方运算。

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

求 -4 与 5975 的乘积。

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-23900\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

求 -23900 与 -706653125 的乘积。

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625+16889009687500}}{2\times 5975}$$

将 16889009687500 加上 202612515625。

$$x=\frac{-450125±\sqrt{17091622203125}}{2\times 5975}$$

取 17091622203125 的平方根。

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{2\times 5975}$$

求 2 与 5975 的乘积。

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950} 的解。 将 125\sqrt{1093863821} 加上 -450125。

$$x=\frac{125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

-450125+125\sqrt{1093863821} 除以 11950。

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950} 的解。 将 -450125 减去 125\sqrt{1093863821}。

$$x=\frac{-125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

-450125-125\sqrt{1093863821} 除以 11950。

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

在等式两边同时加 706653125。

$$5975x^{2}+450125x-706653125-\left(-706653125\right)=-\left(-706653125\right)$$

-706653125 减去它自己得 0。

$$5975x^{2}+450125x=-\left(-706653125\right)$$

将 0 减去 -706653125。

$$5975x^{2}+450125x=706653125$$

两边同时除以 5975。

$$\frac{5975x^{2}+450125x}{5975}=\frac{706653125}{5975}$$

除以 5975 是乘以 5975 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{450125}{5975}x=\frac{706653125}{5975}$$

通过求根和消去 25，将分数 \frac{450125}{5975} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{706653125}{5975}$$

通过求根和消去 25，将分数 \frac{706653125}{5975} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{28266125}{239}$$

将 x 项的系数 \frac{18005}{239} 除以 2 得 \frac{18005}{478}。然后在等式两边同时加上 \frac{18005}{478} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{28266125}{239}+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}$$

对 \frac{18005}{478} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{28266125}{239}+\frac{324180025}{228484}$$

将 \frac{324180025}{228484} 加上 \frac{28266125}{239}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{27346595525}{228484}$$

因数 x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{27346595525}{228484}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27346595525}{228484}}$$

化简。

$$x+\frac{18005}{478}=\frac{5\sqrt{1093863821}}{478} x+\frac{18005}{478}=-\frac{5\sqrt{1093863821}}{478}$$

将等式的两边同时减去 \frac{18005}{478}。

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$