求解 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0.107142857+0.079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0.107142857-0.079859571i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$56x^{2}-12x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 56 替换 a，-12 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

对 -12 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

求 -4 与 56 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

将 -224 加上 144。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

取 -80 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

-12 的相反数是 12。

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

求 2 与 56 的乘积。

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} 的解。 将 4i\sqrt{5} 加上 12。

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

12+4i\sqrt{5} 除以 112。

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} 的解。 将 12 减去 4i\sqrt{5}。

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

12-4i\sqrt{5} 除以 112。

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$56x^{2}-12x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$56x^{2}-12x=-1$$

两边同时除以 56。

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

除以 56 是乘以 56 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-12}{56} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{14} 除以 2 得 -\frac{3}{28}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{28} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{28} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

将 \frac{9}{784} 加上 -\frac{1}{56}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

因数 x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{28}。

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$