求解 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+3x+5=12$$

将等式的两边同时减去 12。

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

12 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

将 5 减去 12。

$$-x^{2}+3x-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，3 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

将 -28 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

取 -19 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} 的解。 将 i\sqrt{19} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

-3+i\sqrt{19} 除以 -2。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} 的解。 将 -3 减去 i\sqrt{19}。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

-3-i\sqrt{19} 除以 -2。

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+3x+5=12$$

将等式的两边同时减去 5。

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

5 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+3x=12-5$$

将 12 减去 5。

$$-x^{2}+3x=7$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

7 除以 -1。

$$x^{2}-3x=-7$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 -7。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

对 x^{2}-3x+\frac{9}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$