求解 5x-2(x-1)(3-x)=11

$$5 x - 2 ( x - 1 ) ( 3 - x ) = 11$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 11。

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)-11=0$$

使用分配律将 -2 乘以 x-1。

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)-11=0$$

使用分配律将 -2x+2 乘以 3-x，并组合同类项。

$$5x-8x+2x^{2}+6-11=0$$

合并 5x 和 -8x，得到 -3x。

$$-3x+2x^{2}+6-11=0$$

将 6 减去 11，得到 -5。

$$-3x+2x^{2}-5=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-3x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-3 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

将 40 加上 9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

-3 的相反数是 3。

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{3±7}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{3±7}{4} 的解。 将 7 加上 3。

$$x=\frac{10}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{4} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{3±7}{4} 的解。 将 3 减去 7。

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 除以 4。

$$x=-1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

使用配方法的步骤

将 -1 与 2 相乘，得到 -2。

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)=11$$

使用分配律将 -2 乘以 x-1。

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)=11$$

使用分配律将 -2x+2 乘以 3-x，并组合同类项。

$$5x-8x+2x^{2}+6=11$$

合并 5x 和 -8x，得到 -3x。

$$-3x+2x^{2}+6=11$$

将方程式两边同时减去 6。

$$-3x+2x^{2}=11-6$$

将 11 减去 6，得到 5。

$$-3x+2x^{2}=5$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-3x=5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{2} 除以 2 得 -\frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 \frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

对 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$