求解 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-40x+85=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-40 替换 b，并用 85 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

对 -40 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

求 -20 与 85 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

将 -1700 加上 1600。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

取 -100 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

-40 的相反数是 40。

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{40±10i}{10} 的解。 将 10i 加上 40。

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

40+10i 除以 10。

$$x=4+i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{40±10i}{10} 的解。 将 40 减去 10i。

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

40-10i 除以 10。

$$x=4-i$$

现已求得方程式的解。

$$x=4+i x=4-i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-40x+85=0$$

将等式的两边同时减去 85。

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

85 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-40x=-85$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

-40 除以 5。

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

-85 除以 5。

$$x^{2}-8x=-17$$

将 x 项的系数 -8 除以 2 得 -4。然后在等式两边同时加上 -4 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

将 16 加上 -17。

$$x^{2}-8x+16=-1$$

对 x^{2}-8x+16 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

化简。

$$x-4=i x-4=-i$$

在等式两边同时加 4。

$$x=4+i x=4-i$$