求解 5x^2+6x-1=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}\approx 0.148331477$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}\approx -1.348331477$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+6x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，6 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

对 6 进行平方运算。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

将 20 加上 36。

$$x=\frac{-6±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

取 56 的平方根。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10} 的解。 将 2\sqrt{14} 加上 -6。

$$x=\frac{2\sqrt{14}-6}{10}$$

-6+2\sqrt{14} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10} 的解。 将 -6 减去 2\sqrt{14}。

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-6}{10}$$

-6-2\sqrt{14} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+6x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$5x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$5x^{2}+6x=1$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{1}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{6}{5} 除以 2 得 \frac{3}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

将 \frac{9}{25} 加上 \frac{1}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

因数 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$