求解 5x^2+3x-11=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{229} - 3}{10} \approx 1.213274595$$

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}\approx -1.813274595$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+3x-11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，3 替换 b，并用 -11 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -11 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+220}}{2\times 5}$$

将 220 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} 的解。 将 \sqrt{229} 加上 -3。

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} 的解。 将 -3 减去 \sqrt{229}。

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+3x-11=0$$

在等式两边同时加 11。

$$5x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

将 0 减去 -11。

$$5x^{2}+3x=11$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{11}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{11}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{5} 除以 2 得 \frac{3}{10}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{11}{5}+\frac{9}{100}$$

将 \frac{9}{100} 加上 \frac{11}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{229}{100}$$

因数 x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{229}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{100}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{229}}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{229}}{10}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{10}。

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$