求解 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，3 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

将 -20 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

取 -11 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} 的解。 将 i\sqrt{11} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} 的解。 将 -3 减去 i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+3x=-1$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{3}{5} 除以 2 得 \frac{3}{10}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

将 \frac{9}{100} 加上 -\frac{1}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

对 x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{10}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$