求解 5x^2+25x-10=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x - 10 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}\approx 0.372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}\approx -5.372281323$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+25x-10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，25 替换 b，并用 -10 替换 c。

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

对 25 进行平方运算。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -10 的乘积。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+200}}{2\times 5}$$

将 200 加上 625。

$$x=\frac{-25±\sqrt{825}}{2\times 5}$$

取 825 的平方根。

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} 的解。 将 5\sqrt{33} 加上 -25。

$$x=\frac{5\sqrt{33}-25}{10}$$

-25+5\sqrt{33} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} 的解。 将 -25 减去 5\sqrt{33}。

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-25}{10}$$

-25-5\sqrt{33} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+25x-10=0$$

在等式两边同时加 10。

$$5x^{2}+25x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+25x=-\left(-10\right)$$

将 0 减去 -10。

$$5x^{2}+25x=10$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=\frac{10}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=\frac{10}{5}$$

25 除以 5。

$$x^{2}+5x=\frac{10}{5}$$

10 除以 5。

$$x^{2}+5x=2$$

将 x 项的系数 5 除以 2 得 \frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 2。

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

因数 x^{2}+5x+\frac{25}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$