求解 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 5x^{2}+ax+bx+4。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数，a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 20 的所有此类整数对。

$$1,20 2,10 4,5$$

计算每对之和。

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

该解答是总和为 21 的对。

$$a=1 b=20$$

将 5x^{2}+21x+4 改写为 \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)。

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 4 中。

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 5x+1。

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

若要找到方程解，请解 5x+1=0 和 x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+21x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，21 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

对 21 进行平方运算。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

求 -20 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

将 -80 加上 441。

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

取 361 的平方根。

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-21±19}{10} 的解。 将 19 加上 -21。

$$x=-\frac{2}{10}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{10} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-21±19}{10} 的解。 将 -21 减去 19。

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 除以 10。

$$x=-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+21x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+21x=-4$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{21}{5} 除以 2 得 \frac{21}{10}。然后在等式两边同时加上 \frac{21}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

对 \frac{21}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

将 \frac{441}{100} 加上 -\frac{4}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

因数 x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

化简。

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

将等式的两边同时减去 \frac{21}{10}。

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$