求解 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0.2+1.2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0.2-1.2489996i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}+2x+8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，2 替换 b，并用 8 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

求 -20 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

将 -160 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

取 -156 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{39} 加上 -2。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

-2+2i\sqrt{39} 除以 10。

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} 的解。 将 -2 减去 2i\sqrt{39}。

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

-2-2i\sqrt{39} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}+2x+8=0$$

将等式的两边同时减去 8。

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

8 减去它自己得 0。

$$5x^{2}+2x=-8$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{2}{5} 除以 2 得 \frac{1}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

将 \frac{1}{25} 加上 -\frac{8}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

对 x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{5}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$