求解 5t^2-3t-5=0

$$5 t ^ { 2 } - 3 t - 5 = 0$$

求解 t 的值

$$t = \frac{\sqrt{109} + 3}{10} \approx 1.344030651$$

$$t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}\approx -0.744030651$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5t^{2}-3t-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-3 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

对 -3 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -5 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+100}}{2\times 5}$$

将 100 加上 9。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

-3 的相反数是 3。

$$t=\frac{3±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$t=\frac{3±\sqrt{109}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{3±\sqrt{109}}{10} 的解。 将 \sqrt{109} 加上 3。

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{3±\sqrt{109}}{10} 的解。 将 3 减去 \sqrt{109}。

$$t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10} t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5t^{2}-3t-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$5t^{2}-3t-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$5t^{2}-3t=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$5t^{2}-3t=5$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5t^{2}-3t}{5}=\frac{5}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{3}{5}t=\frac{5}{5}$$

5 除以 5。

$$t^{2}-\frac{3}{5}t=1$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{5} 除以 2 得 -\frac{3}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=1+\frac{9}{100}$$

将 \frac{9}{100} 加上 1。

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=\frac{109}{100}$$

因数 t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

化简。

$$t-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} t-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{10}。

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10} t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$