求解 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

求解 y 的值

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5y^{2}-90y+54=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-90 替换 b，并用 54 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

对 -90 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

求 -20 与 54 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

将 -1080 加上 8100。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

取 7020 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90 的相反数是 90。

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} 的解。 将 6\sqrt{195} 加上 90。

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

90+6\sqrt{195} 除以 10。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} 的解。 将 90 减去 6\sqrt{195}。

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

90-6\sqrt{195} 除以 10。

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5y^{2}-90y+54=0$$

将等式的两边同时减去 54。

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

54 减去它自己得 0。

$$5y^{2}-90y=-54$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

-90 除以 5。

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

将 x 项的系数 -18 除以 2 得 -9。然后在等式两边同时加上 -9 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

对 -9 进行平方运算。

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

将 81 加上 -\frac{54}{5}。

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

因数 y^{2}-18y+81。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

化简。

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

在等式两边同时加 9。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$