求解 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0.4+0.916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0.4-0.916515139i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-4x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-4 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

求 -20 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

将 -100 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

取 -84 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{21} 加上 4。

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

4+2i\sqrt{21} 除以 10。

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} 的解。 将 4 减去 2i\sqrt{21}。

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

4-2i\sqrt{21} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-4x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-4x=-5$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

-5 除以 5。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{5} 除以 2 得 -\frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

将 \frac{4}{25} 加上 -1。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

因数 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{5}。

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$