求解 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0.4+1.356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0.4-1.356465997i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-4x+10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-4 替换 b，并用 10 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

求 -20 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

将 -200 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

取 -184 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{46} 加上 4。

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

4+2i\sqrt{46} 除以 10。

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} 的解。 将 4 减去 2i\sqrt{46}。

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

4-2i\sqrt{46} 除以 10。

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-4x+10=0$$

将等式的两边同时减去 10。

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

10 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-4x=-10$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10 除以 5。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{5} 除以 2 得 -\frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

将 \frac{4}{25} 加上 -2。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

对 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{5}。

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$