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求解 x 的值 (复数求解)
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5x^{2}-4x+10=0
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a,-4 替换 b,并用 10 替换 c。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
对 -4 进行平方运算。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}
求 -4 与 5 的乘积。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}
求 -20 与 10 的乘积。
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}
将 -200 加上 16。
x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
取 -184 的平方根。
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
-4 的相反数是 4。
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}
求 2 与 5 的乘积。
x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}
现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{46} 加上 4。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}
4+2i\sqrt{46} 除以 10。
x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}
现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} 的解。 将 4 减去 2i\sqrt{46}。
x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
4-2i\sqrt{46} 除以 10。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
现已求得方程式的解。
5x^{2}-4x+10=0
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
5x^{2}-4x+10-10=-10
将等式的两边同时减去 10。
5x^{2}-4x=-10
10 减去它自己得 0。
\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}
两边同时除以 5。
x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}
除以 5 是乘以 5 的逆运算。
x^{2}-\frac{4}{5}x=-2
-10 除以 5。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}
将 x 项的系数 -\frac{4}{5} 除以 2 得 -\frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}
对 -\frac{2}{5} 进行平方运算,方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}
将 \frac{4}{25} 加上 -2。
\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}
因数 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般说来,当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时,它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}
对方程两边同时取平方根。
x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}
化简。
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
在等式两边同时加 \frac{2}{5}。